C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática
A C.Q.D. – Revista Eletrônica Paulista de Matemática, ISSN 2316-9664, é periódico acadêmico publicado em versão eletrônica pelo Departamento de Matemática, da Faculdade de Ciências, da Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” – Unesp/Bauru. Direcionada à comunidade científica, a revista foi criada em 2012 e tem como objetivo incentivar a investigação e o estudo da Matemática. Para tanto, recebe e analisa artigos submetidos por professores e alunos, e publica eletronicamente aqueles que apresentam suficientes méritos científicos e editoriais. Trata-se de uma revista diferenciada por ser totalmente virtual, de acesso gratuito e de ampla abrangência, incluindo os temas de Matemática Pura, de Matemática Aplicada e de Educação Matemática.
Provando o Compêndio de Hoggatt das Identidades de Fibonacci e Lucas
Este trabalho tem como objetivo apresentar demonstrações completas para as identidades envolvendo as sequências de Fibonacci e de Lucas listadas por Hoggatt no capítulo 10 de Fibonacci and Lucas Numbers. Nesse capítulo, o autor enuncia 47 identidades relacionadas aos números de Fibonacci e de Lucas, mas apenas as 12 primeiras são acompanhadas de prova, enquanto as demais aparecem sem justificativa. Motivado por essa lacuna, este estudo desenvolve e organiza demonstrações rigorosas para todas essas identidades, apresentando-as de maneira clara e sistemática. Trata-se de um trabalho elaborado no contexto de um projeto de Iniciação Científica, desenvolvido por estudantes sob orientação docente.
Direitos autorais (c) 2026 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Uma aplicação numérica de modelos da dengue na presença da Wolbachia e da vacinação na Tailândia.
O vírus da dengue e uma das principais causas de doença e morte nos trópicos. Atualmente, o principal método para impedir a transmissão é o controle dos vetores. Além da dengue, a zika dentre outras, são transmitidas por mosquitos, tendo o Aedes Aegypti como o principal vetor, embora o Aedes Albopictus também seja um possível portador. Neste trabalho, analisam-se algumas situações tais como a vacinação ocorrida na Tailandia, a partir de 2016, a presença da Wolbachia através de um modelo SEIR clássico e o caso da liberação de fêmeas infectadas e do modelo invasivo de Wolbachia (WIM) utilizando a tecnica de retropropagação de rede neural de Levenberg-Marquardt (NN-LM). A Wolbachia, que é uma bactéria presente em 60% dos insetos, geralmente nao é encontrada no A. Aegypti. Para as simulações numéricas, utilizou-se o método das Diferenças Finitas, que apesar da simples utilização, demonstrou-se eficiente, com resultados comparaveis na literatura.
SEIR; método das diferenças finitas; modelo invasivo; rede neural de retropropagação.
Refutando "Memórias de um matematiqueiro"
Certo dia, numa discussão no aplicativo Discord, um dos integrantes anexou um link de uma entrevista com o professor Carlos Pereira de Novaes, da UEFS, na qual ele afirma ter desenvolvido uma nova álgebra, chamada “álgebra pseudo-real”, em que os números complexos não existem. Ainda no prefácio do livro em que expõe suas ideias, o professor de Novaes questiona o limite limₓ→∞ (1 + 1/x)ˣ, afirmando que seu valor deveria ser 1, e não e = 2,71828. Neste artigo, proponho-me a responder ao seu questionamento e explicar o motivo da discrepância entre os resultados numéricos apresentados no cálculo da expressão para valores grandes de x e o valor teórico e.
Este artigo apresenta uma abordagem construtivista para o gráfico da função quadrática e suas propriedades, adequada para alunos em seu primeiro contato com o tema. Diferente de abordagens tradicionais, propõe-se uma sequência, inspirada na Geometria Analítica, que se inicia da análise da função g(x)=ax2 e utiliza translações horizontais e verticais para construir a forma canônica geometricamente, motivando a sua dedução algébrica. A formalização de que o gráfico da função quadrática é uma parábola foi feita de forma simples; para solidificar o conceito foram propostas duas atividades no GeoGebra, a primeira para visualização da definição geométrica e a segunda com objetivo de verificar, em um caso específico, que o gráfico da função coincide com o lugar geométrico (parábola). O objetivo principal foi o enriquecimento conceitual para o aluno, contemplando da intuição à formalização rigorosa, focando em esclarecer e justificar as propriedades do gráfico da função quadrática, contribuindo para um aprendizado mais significativo.
Função quadrática; parábola; simetria; GeoGebra; ensino de matemática.
Relações Recorrentes t-dimensionais dos números multifigurados quadrados-nonagonais
Este artigo investiga os números multifigurados quadrados-nonagonais, uma classe de números figurados que pertencem simultaneamente aos números figurados quadrados e nonagonais. Inicialmente, são apresentadas a fórmula de recorrência, a função geradora e a expressão do termo geral da sequência. Em seguida, estuda-se o processo de complexificação por meio da introdução de unidades imaginárias, o que permite generalizações para dimensões superiores. São discutidas as relações bidimensional, tridimensional e, por fim, t-dimensional, destacando como tais extensões ampliam as propriedades estruturais desses números e abrem perspectivas para o estudo de outras sequências de números multifigurados.
números multifigurados quadrados-nonagonais
Os caminhos das raízes da função quadrática - molde, modelo e estilo
Fixados dois coeficientes reais e variando-se o coeficiente real remanescente da função quadrática obtém-se o modelo dos caminhos descritos pelas duas raízes da função no plano complexo (Yamaoka (2023)). Um estilo é um conjunto de modelos que têm relações entre si e compartilham o mesmo molde - estrutura- (exceto o estilo 4 oriundo de fₐ(z) = az², 𝑎 ∈ R∗, constituído de único modelo). Determinamos o número de componentes conexas do caminho de cada raiz por modelo. Determinamos as componentes conexas de cada molde. Damos exemplos dos moldes. Discutimos a continuidade e a diferenciabilidade das duas raízes: elas são contínuas em seus domínios e as raízes simples são infinitamente diferenciáveis (com exceção da raiz dupla nula infinitamente diferenciável de fₐ(z) = az², 𝑎 ∈ R∗, as demais raízes duplas que aparecem no texto não são diferenciáveis). O fundamento teórico que dá suporte aos resultados aqui obtidos pertence à Análise Clássica.
Desenvolvimento de um modelo neural para estimar a massa de sólidos acumulada na filtração de água na irrigação localizada
A conservação da água é uma questão de grande importância e, por isso, novas técnicas são constantemente desenvolvidas para minimizar esse desafio. No Brasil, a técnica de irrigação localizada tem sido amplamente adotada para maximizar a eficiência do uso da água. No entanto, a eficácia dessa técnica é comprometida pelo entupimento dos orifícios dos emissores de água por partículas sólidas de matéria orgânica e inorgânica que se acumulam nos próprios filtros. Por isso, foram empregadas Redes Neurais Artificiais para estimar a massa de sólidos acumulada na filtração, a fim de monitoriar o processo para que a vazão de água seja minimamente afetada. Utilizando um banco de dados experimental disponível na literatura, um modelo neural foi implementado através do algoritmo de aprendizagem de Levenberg-Marquardt, mostrando-se extremamente eficaz nesse caso, com erro relativo percentual médio de 0,29\% na previsão dos valores de massa de sólidos acumulada.
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Tauberian theorems for (N̄, p, q, w) summable triple sequences of fuzzy numbers
Neste artigo, introduzimos a noção do método da média ponderada (N̄, p, q, w) para sequências triplas de números fuzzy e mostramos condições de Tauber necessárias e suficientes sob as quais a convergência no sentido de Pringsheim de uma sequência tripla de números fuzzy decorre de sua somabilidade $ (\bar{N},p,q,w) $. Essas condições são, em certos aspectos, mais fracas do que os análogos ponderados das condições de Landau e da condição de oscilação lenta de Schmidt no caso tridimensional.
Dinâmica fracionária de uma partícula carregada sobre um campo eletromagnético
Neste trabalhos analisamos a modelagem com equações diferenciais de ordens não inteiras para fenômenos físicos, especificamente na força exercida sobre uma partícula carregada em um campo eletromagnético. A abordagem metodológica envolve a substituição das derivadas de ordem inteira pelas de ordem fracionária, no sentido de Caputo, nas equações diferenciais que descrevem o movimento de uma partícula carregada sobre um campo eletromagnético, permitindo uma descrição mais detalhada e eficiente. Os resultados demonstram que a modelagem com a derivada fracionária de Caputo proporciona uma solução mais refinada, incluindo a presença de amortecimento. Conclui-se que o uso do cálculo fracionário oferece vantagens significativas em comparação com o cálculo tradicional, destacando-se pela capacidade de capturar a memória do sistema de forma mais precisa e incorporar fatores inicialmente negligenciados na modelagem clássica.
Incentro: cinco problemas resolvidos propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática
Entre os centros de triângulos, o incentro, ponto de encontro das bissetrizes, é um dos mais conhecidos devido a sua grande utilização em diversos campos da Matemática e Física. Cinco problemas propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática são discutidos em detalhe. As demonstrações envolvidas nas soluções são complementadas pela disponibilização dos respectivos links das figuras interativas utilizando o GeoGebra. É esperado que o artigo possa ser apreciado tanto por estudantes, que preparam-se para as fases finais de competições nacionais ou internacionais, quanto por professores, que atuam no ensino e interessam-se em desafios olímpicos.
Um estudo sobre a forma canônica de Jordan em espaços vetoriais sobre corpos finitos
Neste trabalho, será apresentada a construção do teorema que fundamenta a existˆencia e unicidade da Forma Canˆonica de Jordan para uma dada transformação em um espaço vetorial sobre um corpo algebricamente fechado partindo do fato de que, se 𝑇 é uma transformação linear em um espaço vetorial 𝑉 sobre um corpo K e 𝜆 é um autovalor de 𝑇, então a restrição de 𝑇− 𝜆𝐼 à ker(𝑇 − 𝜆𝐼)𝑗 (onde 𝑗 é o menor inteiro tal que ker(𝑇 −𝜆𝐼𝑑)𝑗 = ker(𝑇 −𝜆𝐼𝑑)𝑗+1) é nilpotente, o que possibilita encontrar conjuntos de vetores 𝛽 = {𝑣, (𝑇 − 𝜆𝐼𝑑)(𝑣), . . . , (𝑇 −𝜆𝐼𝑑)𝑚−1 (𝑣)} de modo que a restrição de 𝑇 − 𝜆𝐼 ao conjunto gerado por 𝛽 pode ser representada por uma matriz do tipo 𝐽𝑚(0), e portanto, a restrição de 𝑇 `a [𝛽] pode ser representada por 𝐽𝑚(𝜆𝑖). Em seguida, será utilizada a Teoria de Corpos para extender tal construção possibilitando sua utilização em espaços vetoriais sobre corpos finitos, uma vez que se 𝑝(𝑥) é um polinˆomio irredutível sobre um corpo K, então K[𝑥]\⟨𝑝(𝑥)⟩ é um corpo onde 𝑝(𝑥) possui raízes.
Aplicação de equações diferenciais em modelos presa-predador com fatores de inibição
Os modelos de interação do tipo presa-predador são comumente utilizados desde o controle biológico de pragas até mesmo na captura e emissão de carbono. Um modelo amplamente difundido é o de Lotka-Volterra (1926), sendo simples e validado. No entanto, esse modelo carece de correções que reproduzam melhor a realidade. Diante disso, foi realizada a análise qualitativa dos problemas presa-predador com fatores de inibição, utilizando as equações de Verhulst e Gompertz, juntamente com a análise numérica das aproximações para tais modelos com o software MATLAB. A análise qualitativa utilizou do estudo dos pontos de equilíbrio dos sistemas localmente lineares, da estabilidade dos sistemas lineares associados e dos sinais das derivadas, construindo trajetórias no plano de fase. Na análise numérica foram aproximadas trajetórias no plano de fase com a implementação do algoritmo de Runge-Kutta de 4a ordem. Todas as informações obtidas qualitativamente foram confirmadas por meio das aproximacões numéricas.
Operadores fracionários proporcionais aplicados ao modelo Logístico
Com o objetivo de tentar descrever um fenômeno mais próximo da realidade, a Modelagem Matemática se apresenta como uma ferramenta essencial para a compreensão de fenômenos de diversas naturezas. Em uma mesma perspectiva, com o avanço do cálculo de ordem fracionária, diversos trabalhos foram publicados e esta Modelagem Matemática, se mostrou muito promissora. Desta forma, amparados por esta nova ótica e aliados a esta teoria generalizada de modelos de crescimento, este trabalho tem como objetivo estudar operadores fracionários proporcionais, para a avaliação das soluções analíticas e numéricas do modelo Logístico.
Algebraic estimation of apothems in regular polygons using linear regression and bootstrap optimization.
A estimativa do apótema de polı́gonos regulares pode ser necessária em situações acadêmicas e da vida real, como para calcular a área de polı́gonos regulares e o volume de prismas e pirâmides. O cálculo do apótema requer o uso e conhecimento da função tangente. No presente artigo descrevemos um procedimento de aproximação algébrica para estimativa do apótema de qualquer polı́gono regular dado apenas o comprimento de um lado e o número de lados. Uma aproximação inicial foi obtida com base na correlação quase linear entre o produto do número e comprimento dos lados do polı́gono coma raiz quadrada da soma do apótema quadrado e da hipotenusa quadrada de um dos triângulos retângulos internos do polı́gono. Numa segunda etapa foi utilizado o método bootstrap paraobter os coeficientes de um polinômio de segundo grau. A equação resultante prevê o apótema com uma precisão mı́nima de 0,9997. Em polı́gonos de 3, 4, 6 e com mais de 25 lados aprecisão foi superior a 0,9999.
Estudo da dinâmica populacional de crescimento bacteriano em laboratório através de equações diferenciais intervalares
Este trabalho se dedicou a estudar a dinâmica populacional do crescimento de Escherichia coli em laboratório utilizando as Equações Diferenciais Intervalares (EDIs). Mais precisamente, os modelos de Malthus e Verhulst foram considerados para descrever a dinâmica de crescimento populacional, considerando parâmetros coletados em laboratório. Tais parâmetros, assim como relatado no artigo, possuem uma característica de valor intervalar. Com o apoio de métodos analíticos e numéricos de Euler e Runge-Kutta de quarta ordem modificados para o contexto da teoria intervalar, foram produzidas soluções numéricas intervalares para estudar tais modelos. O trabalho ilustrou que as EDIs, em particular o modelo de Verhulst, representam com fidelidade os dados biológicos devido às incertezas intrínsecas do sistema.
Caracterização de pontos de equilíbrio e análise de estabilidade do SMIB utilizando o primeiro e segundo método de Lyapunov
A análise de estabilidade em sistemas dinâmicos desempenha um papel crucial na garantia da operação segura e confiável dos sistemas elétricos de potência. Este trabalho visa investigar as características dos pontos de equilíbrio e realizar uma análise de estabilidade em um sistema elétrico de potência de uma máquina contra barramento infinito (SMIB - {\itshape Single Machine Infinite Bus}). Para isso, será considerada uma abordagem detalhada da análise de sistemas dinâmicos não-lineares para descrever o comportamento do sistema de potência citado, com foco na análise de estabilidade de ângulo do rotor para grandes perturbações, explorando o Primeiro e Segundo Métodos de Lyapunov, bem como o Princípio de Invariância de LaSalle. As simulações serão conduzidas por meio de algoritmo, implementado no ambiente MATLAB, que possibilitará realizar a análise espectral do SMIB investigando-se condições de estabilidade deste.
Towards an algebrization of a linear temporal logic
O presente trabalho trata da L´ogica Proposicional da Vizinhança (LPV), um caso de l´ogica temporal linear e uma extens˜ao da L´ogica Proposicional Cl´assica dada pelo acr´escimo de operadores modais que tratam de certos aspectos temporais. Nesse contexto, a validade de uma proposição est´a estritamente relacionada a algum intervalo de tempo. Destacamos alguns aspectos formais dessa l´ogica e a sua formalização em sistemas dedutivos (ou de provas), que naturalmente retratam os aspectos formais do tempo. Pretendemos investigar modelos alg´ebricos para a L´ogica Proposicional da Vizinhança. Todavia, neste trabalho, nos dedicamos apenas `a apresentac¸˜ao do resultado de Correção, uma das etapas necess´arias para a obtenção de um modelo adequado (correto e completo), entre o sistema axiom´atico da LPV e o pretendido modelo alg´ebrico.
Propriedades interessantes relacionando áreas de dois triângulos
Este artigo explora uma relação geométrica singular entre as áreas de dois triângulos, na qual cada vértice do triângulo menor está localizado sobre os lados distintos do triângulo maior. Apresentamos e demonstramos três propriedades pouco usuais, utilizando exemplos práticos com pontos notáveis, como o baricentro, o incentro, o circuncentro, o ortocentro e o ponto de Gergonne. Os resultados obtidos abrem caminhos para futuras investigações geométricas, destacando conceitos clássicos e modernos, como o teorema de Euler aplicado a triângulos pedal, que relaciona a área de triângulos com projeções ortogonais de um ponto sobre os lados de um triângulo.
Estrutura topológica do retrato de fase para campos vetoriais lineares em R3 e aplicações
Neste trabalho apresentamos uma an´alise do sinal da parte real das ra´ızes de um polinˆomio de grau 3 em func¸˜ao de seus coeficientes. O tratamento do problema ´e feito principalmente do ponto de vista anal´ıtico, sabendo que do ponto de vista alg´ebrico o problema j´a vem sendo tratado na literatura sem avanc¸os significativos. Como aplicac¸˜ao dos resultados obtidos, caracterizaremos completamente a dinˆamica e a estrutura topol´ogica do retrato de fase para campos lineares em R3. Al´em disso, apresentamos aplicaç˜oes no estudo qualitativo local de pontos de equil´ıbrio para campos vetoriais em R3 definidos a um ou mais parˆametros.
Campos de vetores lineares tridimensionais
Dinˆamica local pr´oximo de pontos de equil´ıbrio
Neste estudo definimos e investigamos uma nova sequência do tipo Pell, perpetrada por uma recorrência linear de segunda ordem a qual especifica a sequência de Horadam. Aqui, apresentamos, estudamos e analisamos resultados referentes a esta nova classe de sequências de Pell.
Uma caracterização de adjunção em um sistema modal multivalorado
Conexões de Galois são pares de funções, definidas sobre conjuntos ordenados, que preservam alguns aspectos particulares. Elas são estudadas no contexto das estruturas algébricas. Como um tema lógico, consideramos a lógica de quatro valores PM4N, que contempla, pelo menos, dois operadores modais para as noções de necessário e possível. Neste artigo, desenvolvemos uma particular implicação para o sistema de quatro valores PM4N, que se constitui em um par de Galois para estes dois operadores modais. Então, mostramos algumas propriedades da lógica que decorrem dos desenvolvimentos algébricos dos pares de Galois.
Modelo fuzzy para aferir a suscetibilidade de jovens em relação às fake news
Conhecidas como fake news, as várias formas de desinformação tornaram-se uma grande vulnerabilidade do mundo atual. Elas podem influenciar, moldar ou distorcer a nossa percepção do que é real. Neste trabalho apresentamos um Sistema Baseado em Regras Fuzzy (SBRF) com o objetivo de estabelecer uma modelagem adequada que permite inferir o quão suscetível, no sentido de acreditar e/ou compartilhar, uma pessoa pode estar diante de uma fake news. Para isso utilizamos os dados coletados a partir de formulários online de participantes de um dos módulos do Projeto “Inteligência Artificial: da Lógica às Humanidades” apoiado pelo CNPq. Os dados foram utilizados para alimentar um modelo fuzzy que permite inferir o grau de suscetibilidade em relação à desinformação dos participantes. Os resultados mostraram que em uma amostra de 42 participantes do projeto, apenas 9,5% têm um alto grau de contaminação por fake news. A validade interna do modelo foi feita comparando os resultados obtidos através do SBRF com uma análise manual dos dados pelo especialista.
Funções quadráticas na sala de aula: uma proposta de ensino através da modelagem matemática
Propomos uma abordagem didática para o ensino de funções quadráticas através da modelagem matemática. A proposta parte de um problema o qual solicita determinar um dos lados de um retângulo em função da altura de um trapézio formado dentro de um triângulo, sob a condição de que as áreas das regiões formadas sejam iguais. Mais ainda, o triângulo e o retângulo devem ter as mesmas áreas totais e alturas. Exploramos essa situação-problema por meio de um experimento de transferência de líquidos por gravidade entre reservatórios de forma triangular e retangular, permitindo aos estudantes manipular, investigar e validar conceitos matemáticos. O uso de ferramentas como planilhas eletrônicas e simulações no GeoGebra proporcionou um ambiente dinâmico de aprendizagem, favorecendo a compreensão das propriedades da função quadrática. A proposta foi implementada com uma turma de 1\textordmasculine\/ ano do ensino médio, seguida pela análise dos resultados obtidos.
Identificação de ácidos graxos provenientes do açaí em misturas submetidas ao processo de microfiltração tangencial por meio de Redes Neurais Artificiais
O presente artigo propõe a utilização de redes neurais artificiais como uma ferramenta alternativa para classificar misturas de ácidos graxos provenientes do açaí submetidas ao processo de microfiltração tangencial. As redes neurais foram treinadas com os algoritmos de aprendizado supervisionado Levenberg-Marquardt e Regularização Bayesiana, utilizando-se o software MATLAB e dados experimentais obtidos na literatura, referentes à pressão, velocidade de escoamento, tempo e fluxo transmembrana. Os critérios de avaliação consistiram na análise da matriz de confusão, histograma do erro e gráfico de performance. A rede neural com a Regularização Bayesiana mostrou resultados com 99,1% de acerto para a classificação de misturas de água/ácido oleico e água/ácido palmítico e 96,5% quando uma terceira classe foi acrescentada aos dados, contendo água e ambos os ácidos graxos, demonstrando a efetividade da ferramenta.
Neste artigo, discutimos como o conhecimento do c´alculo diferencial e integral pode auxiliar os professores na elaborac¸˜ao de atividades para o ensino b´asico. Para isso, examinamos como inferir aproximadamente a ´area da regi˜ao no plano 𝑥𝑦 delimitada pelo gráfico da função 𝑥 ∈ [0, 1] ↦ 1 + 1/n. sen(𝑥√𝑛), com 𝑛 ∈ N, al´em dos eixos 𝑥 e 𝑦 e da reta 𝑥 = 1. Utilizamos elementos da matem´atica elementar, conforme abordados no ensino b´asico, para obter f´ormulas aproximadas. A justificativa da eficiˆencia de tais f´ormulas, no entanto, ´e realizada por meio do c´alculo diferencial e integral. Tamb´em mostramos como essa an´alise pode ser aplicada ao c´alculo aproximado de ´areas de figuras planas obtidas pela variac¸˜ao dos lados de pol´ıgonos utilizando funç˜oes trigonom´etricas. Para isso, definimos a noç˜ao de funç˜oes com bom comportamento oscilat´orio. As figuras e animac¸ ˜oes foram produzidas com os pacotes gráficos LATEX animate, tikz, tkz-euclide e pgfplots.
Polinômios e números primos: explorando padrões através de cálculos computacionais e a Conjectura 41
Hardy e Littlewood, ao longo de suas notáveis carreiras, propuseram várias conjecturas matemáticas. Em particular, a Conjectura F de Hardy-Littlewood, formulada em 1922, sugere que certas funções quadráticas geram infinitos números primos e estabelece uma relação assintótica para a função de contagem de números primos. Este trabalho apresenta um polinômio de segundo grau, v41(x)=x2+81x+412, derivado do n-quadrado Zeta, que representa uma aplicação específica da Conjectura F. Propomos, portanto, uma abordagem alternativa para a demonstração da Conjectura F através da Conjectura 41. "A Conjectura 41 postula que ``A função de contagem de primos-41, gerada pelo polinômio v41(x), é assintoticamente igual a x/(Alnx + B)". Adicionalmente, constatamos que, se a Conjectura 41 for verdadeira, o polinômio em questão gerará infinitos números primos.
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Os caminhos das raízes da função quadrática II
Em Yamaoka (2023) fixamos dois coeficientes reais e variamos o coeficiente real remanescente da função quadrática para obter os caminhos descritos pelas duas raízes da função no plano $\C$. Neste artigo, usamos a inversa $\Phi$ da projeção estereográfica para levar os caminhos de ambas as raízes para a esfera $\mathbb{S}^2 \subset \R^3$: exceto no subcaso no qual os caminhos das imagens por $\Phi$ das duas raízes estão restritos ao pólo sul $S$ de $\mathbb{S}^2$, em cada um dos demais subcasos os caminhos das imagens por $\Phi$ de ambas as raízes repousam sobre uma ou duas circunferências em $\mathbb{S}^2$. Quando o coeficiente variável tende a $-\infty$ e a $+\infty$, observamos as relações que têm as duas raízes, via $\Phi$, com os pólos norte $N$ e/ou sul $S$ de $\mathbb{S}^2$. Seja $G_j \subset \mathbb{S}^2$ o conjunto dos pontos do caminho da imagem por $\Phi$ da raiz $j$ em $\mathbb{S}^2$, $j=1,2$. Determinamos os pontos aderentes comuns a $G_1$ e a $G_2$. Usamos o Cálculo Diferencial, a Geometria Analítica com tratamento vetorial, a inversa da projeção estereográfica e a distância entre dois conjuntos.}
Tutorial do software matRad para o planejamento da radioterapia
O matRad é um software eficaz na aprendizagem e no desenvolvimento de técnicas avançadas para o planejamento de radioterapia. Foi desenvolvido pelo German Cancer Research Center DKFZ para planejar tratamentos que utilizam fótons, prótons e íons de carbono e destaca-se por calcular a dose com planejamento inverso e apresentar planos de tratamento. O uso deste programa contribui para o aprimoramento de resultados clínicos, entregando a dose mais conformada ao tumor e reduzindo os efeitos colaterais. Este artigo descreve os passos para obtenção, instalação e utilização do software matRad. Uma aplicação em um tratamento de câncer de fígado é apresentada com o objetivo de elaborar o planejamento radioterapêutico, investigando toda interface gráfica.
Uma abordagem numérica para modelos populacionais considerando incerteza do tipo intervalar nas condições iniciais
Este trabalho apresenta um estudo comparativo entre o princ´ıpio de extens˜ao de Zadeh e o princ´ıpio de extens˜ao sup - J0 na propagação de incerteza, focado em modelos populacionais descritos por equações diferenciais. Neste estudo, é considerado que as condições iniciais dos modelos são dados por intervalos, a fim de incorporar a incerteza intrínseca do fenômeno. Para isso, são estudados modelos de dinâmica populacional por meio do método numérico de Euler, que é adaptado à aritmética intervalar. Especificamente, são considerados três modelos, o de Malthus, Verhulst e Gompertz. Para cada modelo, são feitas simulações que permitem visualizar o comportamento e a propagação da incerteza tanto para a soma de Zadeh, quanto para a soma sup-J0. Os resultados obtidos se alinham aos resultados teóricos, mostrando que a soma de Zadeh propaga a incerteza ao longo do tempo, enquanto o princ´ıpio de extens˜ao Sup - J0 diminui a incerteza ao longo do tempo.
Áreas de triˆangulos e algumas inferˆencias na Geometria Plana
A condição de existência de um triângulo ABC de lados a, b e c estabelece que a+b>c. O presente trabalho identifica nos elementos do triângulo, uma certa quantidade k>0 tal que a+b=c+k. Para essa identificação, foram obtidos os pontos interceptos M, N e P do triângulo com o seu Incírculo de centro I. O principal resultado é a Equivalência de Áreas entre o Quadrilátero Reentrante ADBC, sendo D o vértice percorrendo o incírculo que minimiza sua área, e a área do Deltoide CNIP. Como contribuição geométrica, é sugerida uma construção para obtenção dos interceptos M, N e P sobre ABC sem a prévia necessidade do traçado do incírculo. Por fim, uma ferramenta dinâmica foi aplicada para traçar coordenadas definidas, ponto a ponto, pelas áreas dos Quadriláteros Reentrantes ADBC, ADCB e ACDB, enquanto o vértice comum D percorre o incírculo do triângulo ABC. Trajetórias elípticas desses pontos foram reveladas.