C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática
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description: A C.Q.D. – Revista Eletrônica Paulista de Matemática, ISSN 2316-9664, é periódico acadêmico publicado em versão eletrônica pelo Departamento de Matemática, da Faculdade de Ciências, da Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” – Unesp/Bauru. Direcionada à comunidade científica, a revista foi criada em 2012 e tem como objetivo incentivar a investigação e o estudo da Matemática. Para tanto, recebe e analisa artigos submetidos por professores e alunos, e publica eletronicamente aqueles que apresentam suficientes méritos científicos e editoriais. Trata-se de uma revista diferenciada por ser totalmente virtual, de acesso gratuito e de ampla abrangência, incluindo os temas de Matemática Pura, de Matemática Aplicada e de Educação Matemática.
publisher: Unesp
language: pt-BR
publication name: C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática
issn: 2316-9664
items: Os caminhos das raízes da função quadrática - molde, modelo e estilo
items: Desenvolvimento de um modelo neural para estimar a massa de sólidos acumulada na filtração de água na irrigação localizada
items: Tauberian theorems for (N̄, p, q, w) summable triple sequences of fuzzy numbers
items: Dinâmica fracionária de uma partícula carregada sobre um campo eletromagnético
items: Incentro: cinco problemas resolvidos propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática
items: Um estudo sobre a forma canônica de Jordan em espaços vetoriais sobre corpos finitos
items: Aplicação de equações diferenciais em modelos presa-predador com fatores de inibição
items: Operadores fracionários proporcionais aplicados ao modelo Logístico
items: Algebraic estimation of apothems in regular polygons using linear regression and bootstrap optimization.
items: Estudo da dinâmica populacional de crescimento bacteriano em laboratório através de equações diferenciais intervalares
items: Caracterização de pontos de equilíbrio e análise de estabilidade do SMIB utilizando o primeiro e segundo método de Lyapunov
items: Towards an algebrization of a linear temporal logic
items: Propriedades interessantes relacionando áreas de dois triângulos
items: Estrutura topológica do retrato de fase para campos vetoriais lineares em R3 e aplicações
items: A sequência de Pell no anel tricomplexo
items: Uma caracterização de adjunção em um sistema modal multivalorado
items: Modelo fuzzy para aferir a suscetibilidade de jovens em relação às fake news
items: Funções quadráticas na sala de aula: uma proposta de ensino através da modelagem matemática
items: Identificação de ácidos graxos provenientes do açaí em misturas submetidas ao processo de microfiltração tangencial por meio de Redes Neurais Artificiais
items: Oscilações na área do quadrado
items: Polinômios e números primos: explorando padrões através de cálculos computacionais e a Conjectura 41
items: Os caminhos das raízes da função quadrática II
items: Tutorial do software matRad para o planejamento da radioterapia
items: Uma abordagem numérica para modelos populacionais considerando incerteza do tipo intervalar nas condições iniciais
items: Áreas de triˆangulos e algumas inferˆencias na Geometria Plana
items: Transformando frequências em melodias: análise de ondas sonoras e da curva de Railsback
items: Conjugação anal´ítica entre sistemas diferenciais planares e sistemas potenciais
items: Viga prismática delgada e elástica: três aplicações de importância prática na engenharia
items: Sobre o lançamento de projéteis
items: Teoremas de Menelaus, Pascal e Ceva: cinco problemas resolvidos propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática

Os caminhos das raízes da função quadrática - molde, modelo e estilo
type: item
description: Fixados dois coeficientes reais e variando-se o coeficiente real remanescente da função quadrática obtém-se o modelo dos caminhos descritos pelas duas raízes da função no plano complexo (Yamaoka (2023)). Um estilo é um conjunto de modelos que têm relações entre si e compartilham o mesmo molde - estrutura- (exceto o estilo 4 oriundo de fₐ(z) = az², 𝑎 ∈ R∗, constituído de único modelo). Determinamos o número de componentes conexas do caminho de cada raiz por modelo. Determinamos as componentes conexas de cada molde. Damos exemplos dos moldes. Discutimos a continuidade e a diferenciabilidade das duas raízes: elas são contínuas em seus domínios e as raízes simples são infinitamente diferenciáveis (com exceção da raiz dupla nula infinitamente diferenciável de fₐ(z) = az², 𝑎 ∈ R∗, as demais raízes duplas que aparecem no texto não são diferenciáveis). O fundamento teórico que dá suporte aos resultados aqui obtidos pertence à Análise Clássica.
subject: Artigos de Pesquisa
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subject: raízes da função quadrática
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subject: caminhos
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subject: molde
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subject: modelo
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subject: estilo
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creator: Luís Cláudio Yamaoka
rights: Direitos autorais (c) 2026 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2026-01-17
publication date: 2026-01-17
starting page: e26014
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doi: 10.21167/cqdv26e26014

Desenvolvimento de um modelo neural para estimar a massa de sólidos acumulada na filtração de água na irrigação localizada
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description: A conservação da água é uma questão de grande importância e, por isso, novas técnicas são constantemente desenvolvidas para minimizar esse desafio. No Brasil, a técnica de irrigação localizada tem sido amplamente adotada para maximizar a eficiência do uso da água. No entanto, a eficácia dessa técnica é comprometida pelo entupimento dos orifícios dos emissores de água por partículas sólidas de matéria orgânica e inorgânica que se acumulam nos próprios filtros. Por isso, foram empregadas Redes Neurais Artificiais para estimar a massa de sólidos acumulada na filtração, a fim de monitoriar o processo para que a vazão de água seja minimamente afetada. Utilizando um banco de dados experimental disponível na literatura, um modelo neural foi implementado através do algoritmo de aprendizagem de Levenberg-Marquardt, mostrando-se extremamente eficaz nesse caso, com erro relativo percentual médio de 0,29\% na previsão dos valores de massa de sólidos acumulada.
subject: Edição Especial ERMAC 2024
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subject: Redes neurais artificiais
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subject: Irrigação
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subject: Massa de sólidos
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creator: Mayumi Laura Daniel Kamachi
creator: Érica Regina Filletti
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-11-20
publication date: 2025-11-20
starting page: e25008
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doi: 10.21167/cqdv25e25008

Tauberian theorems for (N̄, p, q, w) summable triple sequences of fuzzy numbers
type: item
description: Neste artigo, introduzimos a noção do método da média ponderada (N̄, p, q, w) para sequências triplas de números fuzzy e mostramos condições de Tauber necessárias e suficientes sob as quais a convergência no sentido de Pringsheim de uma sequência tripla de números fuzzy decorre de sua somabilidade $ (\bar{N},p,q,w) $. Essas condições são, em certos aspectos, mais fracas do que os análogos ponderados das condições de Landau e da condição de oscilação lenta de Schmidt no caso tridimensional.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Triple sequence of fuzzy numbers
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subject: Weighted mean method
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subject: Tauberian theorems and conditions
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creator: Carlos Bernal Granados
creator: Ajoy Kanti Das
creator: Suman Das
rights: Direitos autorais (c) 2026 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2026-01-15
publication date: 2026-01-15
starting page: e26013
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doi: 10.21167/cqdv26e26013

Dinâmica fracionária de uma partícula carregada sobre um campo eletromagnético
type: item
description: Neste trabalhos analisamos a modelagem com equações diferenciais de ordens não inteiras para fenômenos físicos, especificamente na força exercida sobre uma partícula carregada em um campo eletromagnético. A abordagem metodológica envolve a substituição das derivadas de ordem inteira pelas de ordem fracionária, no sentido de Caputo, nas equações diferenciais que descrevem o movimento de uma partícula carregada sobre um campo eletromagnético, permitindo uma descrição mais detalhada e eficiente. Os resultados demonstram que a modelagem com a derivada fracionária de Caputo proporciona uma solução mais refinada, incluindo a presença de amortecimento. Conclui-se que o uso do cálculo fracionário oferece vantagens significativas em comparação com o cálculo tradicional, destacando-se pela capacidade de capturar a memória do sistema de forma mais precisa e incorporar fatores inicialmente negligenciados na modelagem clássica.
subject: Artigos de Pesquisa
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subject: Equações Diferenciais Fracionárias
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subject: Derivada fracionária de Caputo
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subject: Cálculo Fracionário e Aplicações
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subject: Força de Lorentz
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creator: Thiago Massolini Marchesin
creator: Rubens de Figueiredo Camargo
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-09-30
publication date: 2025-09-30
starting page: e26012
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doi: 10.21167/cqdv26e26012

Incentro: cinco problemas resolvidos propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática
type: item
description: Entre os centros de triângulos, o incentro, ponto de encontro das bissetrizes, é um dos mais conhecidos devido a sua grande utilização em diversos campos da Matemática e Física. Cinco problemas propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática são discutidos em detalhe. As demonstrações envolvidas nas soluções são complementadas pela disponibilização dos respectivos links das figuras interativas utilizando o GeoGebra. É esperado que o artigo possa ser apreciado tanto por estudantes, que preparam-se para as fases finais de competições nacionais ou internacionais, quanto por professores, que atuam no ensino e interessam-se em desafios olímpicos.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Incentro
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subject: Ensino Medio
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subject: GeoGebra
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subject: Olimp´ıada Internacional de Matematica
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creator: Juan López Linares
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-09-24
publication date: 2025-09-24
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doi: 10.21167/cqdv26e26011

Um estudo sobre a forma canônica de Jordan em espaços vetoriais sobre corpos finitos
type: item
description: Neste trabalho, será apresentada a construção do teorema que fundamenta a existˆencia e unicidade da Forma Canˆonica de Jordan para uma dada transformação em um espaço vetorial sobre um corpo algebricamente fechado partindo do fato de que, se 𝑇 é uma transformação linear em um espaço vetorial 𝑉 sobre um corpo K e 𝜆 é um autovalor de 𝑇, então a restrição de 𝑇− 𝜆𝐼 à ker(𝑇 − 𝜆𝐼)𝑗 (onde 𝑗 é o menor inteiro tal que ker(𝑇 −𝜆𝐼𝑑)𝑗 = ker(𝑇 −𝜆𝐼𝑑)𝑗+1) é nilpotente, o que possibilita encontrar conjuntos de vetores 𝛽 = {𝑣, (𝑇 − 𝜆𝐼𝑑)(𝑣), . . . , (𝑇 −𝜆𝐼𝑑)𝑚−1 (𝑣)} de modo que a restrição de 𝑇 − 𝜆𝐼 ao conjunto gerado por 𝛽 pode ser representada por uma matriz do tipo 𝐽𝑚(0), e portanto, a restrição de 𝑇 `a [𝛽] pode ser representada por 𝐽𝑚(𝜆𝑖). Em seguida, será utilizada a Teoria de Corpos para extender tal construção possibilitando sua utilização em espaços vetoriais sobre corpos finitos, uma vez que se 𝑝(𝑥) é um polinˆomio irredutível sobre um corpo K, então K[𝑥]\⟨𝑝(𝑥)⟩ é um corpo onde 𝑝(𝑥) possui raízes.
subject: Artigos de Iniciação Científica
  topic: section
subject: Álgebra Linear
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subject: Corpos finitos
  topic: keywords
subject: Formas canônicas
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creator: Isadora Vanzella Picinini
creator: Jahina Fagundes de Assis Hattori
creator: Wilian Francisco de Araújo
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-08-21
publication date: 2025-08-21
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doi: 10.21167/cqdv26e26008

Aplicação de equações diferenciais em modelos presa-predador com fatores de inibição
type: item
description: Os modelos de interação do tipo presa-predador são comumente utilizados desde o controle biológico de pragas até mesmo na captura e emissão de carbono. Um modelo amplamente difundido é o de Lotka-Volterra (1926), sendo simples e validado. No entanto, esse modelo carece de correções que reproduzam melhor a realidade. Diante disso, foi realizada a análise qualitativa dos problemas presa-predador com fatores de inibição, utilizando as equações de Verhulst e Gompertz, juntamente com a análise numérica das aproximações para tais modelos com o software MATLAB. A análise qualitativa utilizou do estudo dos pontos de equilíbrio dos sistemas localmente lineares, da estabilidade dos sistemas lineares associados e dos sinais das derivadas, construindo trajetórias no plano de fase. Na análise numérica foram aproximadas trajetórias no plano de fase com a implementação do algoritmo de Runge-Kutta de 4a ordem. Todas as informações obtidas qualitativamente foram confirmadas por meio das aproximacões numéricas.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: presa-predador
  topic: keywords
subject: inibição
  topic: keywords
subject: Análise qualitativa.
  topic: keywords
subject: análise numérica
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creator: João Pedro Oliveira Pereira
creator: Ricardo de Sá Teles
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-08-04
publication date: 2025-08-04
starting page: e26006
ending page: e26006
doi: 10.21167/cqdv26e26006

Operadores fracionários proporcionais aplicados ao modelo Logístico
type: item
description: Com o objetivo de tentar descrever um fenômeno mais próximo da realidade, a Modelagem Matemática se apresenta como uma ferramenta essencial para a compreensão de fenômenos de diversas naturezas. Em uma mesma perspectiva, com o avanço do cálculo de ordem fracionária, diversos trabalhos foram publicados e esta Modelagem Matemática, se mostrou muito promissora. Desta forma, amparados por esta nova ótica e aliados a esta teoria generalizada de modelos de crescimento, este trabalho tem como objetivo estudar operadores fracionários proporcionais, para a avaliação das soluções analíticas e numéricas do modelo Logístico.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Calculo Fracionário
  topic: keywords
subject: EDOs de ordem fracionária
  topic: keywords
subject: Modelos de crescimento
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creator: Gustavo Helias Vaz da Silva
creator: Erasmo Tales Fonseca
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-09-19
publication date: 2025-09-19
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ending page: e26010
doi: 10.21167/cqdv26e26010

Algebraic estimation of apothems in regular polygons using linear regression and bootstrap optimization.
type: item
description: A estimativa do apótema de polı́gonos regulares pode ser necessária em situações acadêmicas e da vida real, como para calcular a área de polı́gonos regulares e o volume de prismas e pirâmides. O cálculo do apótema requer o uso e conhecimento da função tangente. No presente artigo descrevemos um procedimento de aproximação algébrica para estimativa do apótema de qualquer polı́gono regular dado apenas o comprimento de um lado e o número de lados. Uma aproximação inicial foi obtida com base na correlação quase linear entre o produto do número e comprimento dos lados do polı́gono coma raiz quadrada da soma do apótema quadrado e da hipotenusa quadrada de um dos triângulos retângulos internos do polı́gono. Numa segunda etapa foi utilizado o método bootstrap paraobter os coeficientes de um polinômio de segundo grau. A equação resultante prevê o apótema com uma precisão mı́nima de 0,9997. Em polı́gonos de 3, 4, 6 e com mais de 25 lados aprecisão foi superior a 0,9999.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Apotema
  topic: keywords
subject: Polygon
  topic: keywords
subject: Polygon area
  topic: keywords
creator: Sergio Roberto Peres Line
creator: Walter Gonçales Martin
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-09-04
publication date: 2025-09-04
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doi: 10.21167/cqdv26e26009

Estudo da dinâmica populacional de crescimento bacteriano em laboratório através de equações diferenciais intervalares
type: item
description: Este trabalho se dedicou a estudar a dinâmica populacional do crescimento de Escherichia coli em laboratório utilizando as Equações Diferenciais Intervalares (EDIs). Mais precisamente, os modelos de Malthus e Verhulst foram considerados para descrever a dinâmica de crescimento populacional, considerando parâmetros coletados em laboratório. Tais parâmetros, assim como relatado no artigo, possuem uma característica de valor intervalar. Com o apoio de métodos analíticos e numéricos de Euler e Runge-Kutta de quarta ordem modificados para o contexto da teoria intervalar, foram produzidas soluções numéricas intervalares para estudar tais modelos. O trabalho ilustrou que as EDIs, em particular o modelo de Verhulst, representam com fidelidade os dados biológicos devido às incertezas intrínsecas do sistema.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Modelo de Malthus
  topic: keywords
subject: Modelo de Verhulst
  topic: keywords
subject: Escherichia coli
  topic: keywords
subject: Método de Euler
  topic: keywords
subject: Método de Runge-Kutta
  topic: keywords
subject: Equações Diferenciais Intervalares
  topic: keywords
creator: Vitor Eduardo Girotto Barelli
creator: Vinícius Francisco Wasques
creator: Juliana Helena Costa Smetana
creator: Ana Luiza Poletto Loss
creator: Gabriel Viégas Ribeiro
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-07-16
publication date: 2025-07-16
starting page: e26003
ending page: e26003
doi: 10.21167/cqdv26e26003

Caracterização de pontos de equilíbrio e análise de estabilidade do SMIB utilizando o primeiro e segundo método de Lyapunov
type: item
description: A análise de estabilidade em sistemas dinâmicos desempenha um papel crucial na garantia da operação segura e confiável dos sistemas elétricos de potência. Este trabalho visa investigar as características dos pontos de equilíbrio e realizar uma análise de estabilidade em um sistema elétrico de potência de uma máquina contra barramento infinito (SMIB - {\itshape Single Machine Infinite Bus}). Para isso, será considerada uma abordagem detalhada da análise de sistemas dinâmicos não-lineares para descrever o comportamento do sistema de potência citado, com foco na análise de estabilidade de ângulo do rotor para grandes perturbações, explorando o Primeiro e Segundo Métodos de Lyapunov, bem como o Princípio de Invariância de LaSalle. As simulações serão conduzidas por meio de algoritmo, implementado no ambiente MATLAB, que possibilitará realizar a análise espectral do SMIB investigando-se condições de estabilidade deste.
subject: Edição Especial ERMAC 2024
  topic: section
subject: estabilidade
  topic: keywords
subject: sistemas elétricos de potência
  topic: keywords
subject: ponto de equilíbrio
  topic: keywords
subject: Matemática Aplicada à Engenharia.
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creator: Nathalia Massambani
creator: André Christóvão Pio Martins
creator: Antonio Roberto Balbo
creator: Edilaine Martins Soler
creator: Leonardo Nepomuceno
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-07-25
publication date: 2025-07-25
starting page: e25006
ending page: e25006
doi: 10.21167/cqdv25e25006

Towards an algebrization of a linear temporal logic
type: item
description: O presente trabalho trata da L´ogica Proposicional da Vizinhança (LPV), um caso de l´ogica temporal linear e uma extens˜ao da L´ogica Proposicional Cl´assica dada pelo acr´escimo de operadores modais que tratam de certos aspectos temporais. Nesse contexto, a validade de uma proposição est´a estritamente relacionada a algum intervalo de tempo. Destacamos alguns aspectos formais dessa l´ogica e a sua formalização em sistemas dedutivos (ou de provas), que naturalmente retratam os aspectos formais do tempo. Pretendemos investigar modelos alg´ebricos para a L´ogica Proposicional da Vizinhança. Todavia, neste trabalho, nos dedicamos apenas `a apresentac¸˜ao do resultado de Correção, uma das etapas necess´arias para a obtenção de um modelo adequado (correto e completo), entre o sistema axiom´atico da LPV e o pretendido modelo alg´ebrico.
subject: Edição Especial ERMAC 2024
  topic: section
subject: Lógica
  topic: keywords
subject: Lógica Algébrica
  topic: keywords
subject: Lógica Temporal
  topic: keywords
subject: Lógica da Vizinhança
  topic: keywords
creator: Romulo Albano de Freitas
creator: Hércules de Araujo Feitosa
creator: Luiz Henrique da Cruz Silvestrini
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-07-25
publication date: 2025-07-25
starting page: e25007
ending page: e25007
doi: 10.21167/cqdv25e25007

Propriedades interessantes relacionando áreas de dois triângulos
type: item
description: Este artigo explora uma relação geométrica singular entre as áreas de dois triângulos, na qual cada vértice do triângulo menor está localizado sobre os lados distintos do triângulo maior. Apresentamos e demonstramos três propriedades pouco usuais, utilizando exemplos práticos com pontos notáveis, como o baricentro, o incentro, o circuncentro, o ortocentro e o ponto de Gergonne. Os resultados obtidos abrem caminhos para futuras investigações geométricas, destacando conceitos clássicos e modernos, como o teorema de Euler aplicado a triângulos pedal, que relaciona a área de triângulos com projeções ortogonais de um ponto sobre os lados de um triângulo.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Triângulo órtico
  topic: keywords
subject: Pontos notáveis
  topic: keywords
subject: Medianas
  topic: keywords
subject: Baricentro
  topic: keywords
subject: Bissetriz
  topic: keywords
creator: Luis Antonio Ponce Alonso
creator: Francisco Nery de Souza Campos
creator: Edmundo Capelas de Oliveira
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-07-25
publication date: 2025-07-25
starting page: e26004
ending page: e26004
doi: 10.21167/cqdv26e26004

Estrutura topológica do retrato de fase para campos vetoriais lineares em R3 e aplicações
type: item
description: Neste trabalho apresentamos uma an´alise do sinal da parte real das ra´ızes de um polinˆomio de grau 3 em func¸˜ao de seus coeficientes. O tratamento do problema ´e feito principalmente do ponto de vista anal´ıtico, sabendo que do ponto de vista alg´ebrico o problema j´a vem sendo tratado na literatura sem avanc¸os significativos. Como aplicac¸˜ao dos resultados obtidos, caracterizaremos completamente a dinˆamica e a estrutura topol´ogica do retrato de fase para campos lineares em R3. Al´em disso, apresentamos aplicaç˜oes no estudo qualitativo local de pontos de equil´ıbrio para campos vetoriais em R3 definidos a um ou mais parˆametros.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Campos de vetores lineares tridimensionais
  topic: keywords
subject: Ra´ızes de polinˆomios c´ubicos
  topic: keywords
subject: Dinˆamica local pr´oximo de pontos de equil´ıbrio
  topic: keywords
subject: Diagrama de bifurcações
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creator: Luan Lima da Silva
creator: Durval José Tonon
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-08-05
publication date: 2025-08-05
starting page: e26007
ending page: e26007
doi: 10.21167/cqdv26e26007

A sequência de Pell no anel tricomplexo
type: item
description: Neste estudo definimos e investigamos uma nova sequência do tipo Pell, perpetrada por uma recorrência linear de segunda ordem a qual especifica a sequência de Horadam. Aqui, apresentamos, estudamos e analisamos resultados referentes a esta nova classe de sequências de Pell.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Sequência de Pell
  topic: keywords
subject: Sequência Tricomplexa de Pell
  topic: keywords
subject: Identidade de Tagiuri-Vajda
  topic: keywords
subject: Somas Parciais
  topic: keywords
creator: Eudes Antonio Costa
creator: Francival Santos Monteiro
creator: Vitor Manoel Alves de Souza
creator: Douglas Catulio dos Santos
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-07-30
publication date: 2025-07-30
starting page: e26005
ending page: e26005
doi: 10.21167/cqdv26e26005

Uma caracterização de adjunção em um sistema modal multivalorado
type: item
description: Conexões de Galois são pares de funções, definidas sobre conjuntos ordenados, que preservam alguns aspectos particulares. Elas são estudadas no contexto das estruturas algébricas. Como um tema lógico, consideramos a lógica de quatro valores PM4N, que contempla, pelo menos, dois operadores modais para as noções de necessário e possível. Neste artigo, desenvolvemos uma particular implicação para o sistema de quatro valores PM4N, que se constitui em um par de Galois para estes dois operadores modais. Então, mostramos algumas propriedades da lógica que decorrem dos desenvolvimentos algébricos dos pares de Galois.
subject: Edição Especial ERMAC 2024
  topic: section
subject: Conexões de Galois
  topic: keywords
subject: Lógica polivalente
  topic: keywords
subject: Lógica modal
  topic: keywords
subject: Lógica algébrica
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creator: Hércules de Araújo Feitosa
creator: Romulo Albano de Freitas
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-07-08
publication date: 2025-07-08
starting page: e25005
ending page: e25005
doi: 10.21167/cqdv25e25005

Modelo fuzzy para aferir a suscetibilidade de jovens em relação às fake news
type: item
description: Conhecidas como fake news, as várias formas de desinformação tornaram-se uma grande vulnerabilidade do mundo atual. Elas podem influenciar, moldar ou distorcer a nossa percepção do que é real. Neste trabalho apresentamos um Sistema Baseado em Regras Fuzzy (SBRF) com o objetivo de estabelecer uma modelagem adequada que permite inferir o quão suscetível, no sentido de acreditar e/ou compartilhar, uma pessoa pode estar diante de uma fake news. Para isso utilizamos os dados coletados a partir de formulários online de participantes de um dos módulos do Projeto “Inteligência Artificial: da Lógica às Humanidades” apoiado pelo CNPq. Os dados foram utilizados para alimentar um modelo fuzzy que permite inferir o grau de suscetibilidade em relação à desinformação dos participantes. Os resultados mostraram que em uma amostra de 42 participantes do projeto, apenas 9,5% têm um alto grau de contaminação por fake news. A validade interna do modelo foi feita comparando os resultados obtidos através do SBRF com uma análise manual dos dados pelo especialista.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Lógica Fuzzy
  topic: keywords
subject: Fake news
  topic: keywords
subject: Sistema baseado em regras fuzzy
  topic: keywords
subject: Notícias falsas
  topic: keywords
creator: Aline Tiemi Terasawa
creator: Luiz Henrique da Cruz Silvestrini
creator: Ana Claudia de Jesus Golzio
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-07-08
publication date: 2025-07-08
starting page: e26002
ending page: e26002
doi: 10.21167/cqdv26e26002

Funções quadráticas na sala de aula: uma proposta de ensino através da modelagem matemática
type: item
description: Propomos uma abordagem didática para o ensino de funções quadráticas através da modelagem matemática. A proposta parte de um problema o qual solicita determinar um dos lados de um retângulo em função da altura de um trapézio formado dentro de um triângulo, sob a condição de que as áreas das regiões formadas sejam iguais. Mais ainda, o triângulo e o retângulo devem ter as mesmas áreas totais e alturas. Exploramos essa situação-problema por meio de um experimento de transferência de líquidos por gravidade entre reservatórios de forma triangular e retangular, permitindo aos estudantes manipular, investigar e validar conceitos matemáticos. O uso de ferramentas como planilhas eletrônicas e simulações no GeoGebra proporcionou um ambiente dinâmico de aprendizagem, favorecendo a compreensão das propriedades da função quadrática. A proposta foi implementada com uma turma de 1\textordmasculine\/ ano do ensino médio, seguida pela análise dos resultados obtidos.
subject: Edição Especial ERMAC 2024
  topic: section
subject: Ensino
  topic: keywords
subject: Modelagem matem´atica e aplicações
  topic: keywords
subject: Ensino de funções quadráticas
  topic: keywords
creator: Wladimir Seixas
creator: Cleber Aparecido de Almeida
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-07-07
publication date: 2025-07-07
starting page: e25004
ending page: e25004
doi: 10.21167/cqdv25e25004

Identificação de ácidos graxos provenientes do açaí em misturas submetidas ao processo de microfiltração tangencial por meio de Redes Neurais Artificiais
type: item
description: O presente artigo propõe a utilização de redes neurais artificiais como uma ferramenta alternativa para classificar misturas de ácidos graxos provenientes do açaí submetidas ao processo de microfiltração tangencial. As redes neurais foram treinadas com os algoritmos de aprendizado supervisionado Levenberg-Marquardt e Regularização Bayesiana, utilizando-se o software MATLAB e dados experimentais obtidos na literatura, referentes à pressão, velocidade de escoamento, tempo e fluxo transmembrana. Os critérios de avaliação consistiram na análise da matriz de confusão, histograma do erro e gráfico de performance. A rede neural com a Regularização Bayesiana mostrou resultados com 99,1% de acerto para a classificação de misturas de água/ácido oleico e água/ácido palmítico e 96,5% quando uma terceira classe foi acrescentada aos dados, contendo água e ambos os ácidos graxos, demonstrando a efetividade da ferramenta.
subject: Edição Especial ERMAC 2024
  topic: section
subject: Redes neurais artificiais
  topic: keywords
subject: Ácidos graxos
  topic: keywords
subject: Açaí
  topic: keywords
subject: Microfiltração tangencial
  topic: keywords
creator: Matheus Nonis Passerini
creator: Érica Regina Filletti
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-09-08
publication date: 2025-09-08
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doi: 10.21167/cqdv25e25003

Oscilações na área do quadrado
type: item
description: Neste artigo, discutimos como o conhecimento do c´alculo diferencial e integral pode auxiliar os professores na elaborac¸˜ao de atividades para o ensino b´asico. Para isso, examinamos como inferir aproximadamente a ´area da regi˜ao no plano 𝑥𝑦 delimitada pelo gráfico da função 𝑥 ∈ [0, 1] ↦ 1 + 1/n. sen(𝑥√𝑛), com 𝑛 ∈ N, al´em dos eixos 𝑥 e 𝑦 e da reta 𝑥 = 1. Utilizamos elementos da matem´atica elementar, conforme abordados no ensino b´asico, para obter f´ormulas aproximadas. A justificativa da eficiˆencia de tais f´ormulas, no entanto, ´e realizada por meio do c´alculo diferencial e integral. Tamb´em mostramos como essa an´alise pode ser aplicada ao c´alculo aproximado de ´areas de figuras planas obtidas pela variac¸˜ao dos lados de pol´ıgonos utilizando funç˜oes trigonom´etricas. Para isso, definimos a noç˜ao de funç˜oes com bom comportamento oscilat´orio. As figuras e animac¸ ˜oes foram produzidas com os pacotes gráficos LATEX animate, tikz, tkz-euclide e pgfplots.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Animate
  topic: keywords
subject: Área
  topic: keywords
subject: Oscilação
  topic: keywords
subject: Quadrado
  topic: keywords
subject: Tikz
  topic: keywords
creator: Flank David Morais Bezerra
creator: Leonardo Pires
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-07-08
publication date: 2025-07-08
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doi: 10.21167/cqdv26e26001

Polinômios e números primos: explorando padrões através de cálculos computacionais e a Conjectura 41
type: item
description: Hardy e Littlewood, ao longo de suas notáveis carreiras, propuseram várias conjecturas matemáticas. Em particular, a Conjectura F de Hardy-Littlewood, formulada em 1922, sugere que certas funções quadráticas geram infinitos números primos e estabelece uma relação assintótica para a função de contagem de números primos. Este trabalho apresenta um polinômio de segundo grau, v41(x)=x2+81x+412, derivado do n-quadrado Zeta, que representa uma aplicação específica da Conjectura F. Propomos, portanto, uma abordagem alternativa para a demonstração da Conjectura F através da Conjectura 41. "A Conjectura 41 postula que ``A função de contagem de primos-41, gerada pelo polinômio v41(x), é assintoticamente igual a x/(Alnx + B)". Adicionalmente, constatamos que, se a Conjectura 41 for verdadeira, o polinômio em questão gerará infinitos números primos.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Números primos
  topic: keywords
subject: n-quadrado Zeta
  topic: keywords
subject: Polinômio v41(x)
  topic: keywords
subject: Conjetura F
  topic: keywords
subject: Conjetura 41
  topic: keywords
creator: Jorge Andrés Julca Avila
creator: Éder Luis Tostes
creator: Gabriel Silva de Andrade
rights: Direitos autorais (c) 2024 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2024-12-17
publication date: 2024-12-17
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doi: 10.21167/cqdv24e24012

Os caminhos das raízes da função quadrática II
type: item
description: Em Yamaoka (2023) fixamos dois coeficientes reais e variamos o coeficiente real remanescente da função quadrática para obter os caminhos descritos pelas duas raízes da função no plano $\C$. Neste artigo, usamos a inversa $\Phi$ da projeção estereográfica para levar os caminhos de ambas as raízes para a esfera $\mathbb{S}^2 \subset \R^3$: exceto no subcaso no qual os caminhos das imagens por $\Phi$ das duas raízes estão restritos ao pólo sul $S$ de $\mathbb{S}^2$, em cada um dos demais subcasos os caminhos das imagens por $\Phi$ de ambas as raízes repousam sobre uma ou duas circunferências em $\mathbb{S}^2$. Quando o coeficiente variável tende a $-\infty$ e a $+\infty$, observamos as relações que têm as duas raízes, via $\Phi$, com os pólos norte $N$ e/ou sul $S$ de $\mathbb{S}^2$. Seja $G_j \subset \mathbb{S}^2$ o conjunto dos pontos do caminho da imagem por $\Phi$ da raiz $j$ em $\mathbb{S}^2$, $j=1,2$. Determinamos os pontos aderentes comuns a $G_1$ e a $G_2$. Usamos o Cálculo Diferencial, a Geometria Analítica com tratamento vetorial, a inversa da projeção estereográfica e a distância entre dois conjuntos.}
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Função quadrática
  topic: keywords
subject: Raízes
  topic: keywords
subject: Projeção estereográfica
  topic: keywords
subject: Caminhos
  topic: keywords
creator: Luís Cláudio Yamaoka
rights: Direitos autorais (c) 2024 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2024-12-17
publication date: 2024-12-17
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ending page: e24011
doi: 10.21167/cqdv24e24011

Tutorial do software matRad para o planejamento da radioterapia
type: item
description: O matRad é um software eficaz na aprendizagem e no desenvolvimento de técnicas avançadas para o planejamento de radioterapia. Foi desenvolvido pelo German Cancer Research Center DKFZ para planejar tratamentos que utilizam fótons, prótons e íons de carbono e destaca-se por calcular a dose com planejamento inverso e apresentar planos de tratamento. O uso deste programa contribui para o aprimoramento de resultados clínicos, entregando a dose mais conformada ao tumor e reduzindo os efeitos colaterais. Este artigo descreve os passos para obtenção, instalação e utilização do software matRad. Uma aplicação em um tratamento de câncer de fígado é apresentada com o objetivo de elaborar o planejamento radioterapêutico, investigando toda interface gráfica.
subject: Edição Especial ERMAC 2024
  topic: section
subject: Matemática Aplicada à Física
  topic: keywords
subject: Terapia por Radiação
  topic: keywords
subject: Pesquisa operacional
  topic: keywords
subject: Otimização
  topic: keywords
creator: Daniela Renata Cantane
creator: Richard Castro Junior
creator: Diogo José Sousa Leão
creator: Felipe Melo Silva
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-07-07
publication date: 2025-07-07
starting page: e25002
ending page: e25002
doi: 10.21167/cqdv25e25002

Uma abordagem numérica para modelos populacionais considerando incerteza do tipo intervalar nas condições iniciais
type: item
description: Este trabalho apresenta um estudo comparativo entre o princ´ıpio de extens˜ao de Zadeh e o princ´ıpio de extens˜ao sup - J0 na propagação de incerteza, focado em modelos populacionais descritos por equações diferenciais. Neste estudo, é considerado que as condições iniciais dos modelos são dados por intervalos, a fim de incorporar a incerteza intrínseca do fenômeno. Para isso, são estudados modelos de dinâmica populacional por meio do método numérico de Euler, que é adaptado à aritmética intervalar. Especificamente, são considerados três modelos, o de Malthus, Verhulst e Gompertz. Para cada modelo, são feitas simulações que permitem visualizar o comportamento e a propagação da incerteza tanto para a soma de Zadeh, quanto para a soma sup-J0. Os resultados obtidos se alinham aos resultados teóricos, mostrando que a soma de Zadeh propaga a incerteza ao longo do tempo, enquanto o princ´ıpio de extens˜ao Sup - J0 diminui a incerteza ao longo do tempo.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Equaç˜oes Diferenciais Intervalares
  topic: keywords
subject: Interatividade Fuzzy
  topic: keywords
subject: Biomatem´atica
  topic: keywords
subject: Dinˆamicas Populacionais
  topic: keywords
creator: Raquel Cristina de Andrade Queiroz
creator: Vinícius Francisco Wasques
rights: Direitos autorais (c) 2024 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2024-12-19
publication date: 2024-12-19
starting page: e24016
ending page: e24016
doi: 10.21167/cqdv24e24016

Áreas de triˆangulos e algumas inferˆencias na Geometria Plana
type: item
description: A condição de existência de um triângulo ABC de lados a, b e c estabelece que a+b>c. O presente trabalho identifica nos elementos do triângulo, uma certa quantidade k>0 tal que a+b=c+k. Para essa identificação, foram obtidos os pontos interceptos M, N e P do triângulo com o seu Incírculo de centro I. O principal resultado é a Equivalência de Áreas entre o Quadrilátero Reentrante ADBC, sendo D o vértice percorrendo o incírculo que minimiza sua área, e a área do Deltoide CNIP. Como contribuição geométrica, é sugerida uma construção para obtenção dos interceptos M, N e P sobre ABC sem a prévia necessidade do traçado do incírculo. Por fim, uma ferramenta dinâmica foi aplicada para traçar coordenadas definidas, ponto a ponto, pelas áreas dos Quadriláteros Reentrantes ADBC, ADCB e ACDB, enquanto o vértice comum D percorre o incírculo do triângulo ABC. Trajetórias elípticas desses pontos foram reveladas.
subject: Edição Especial ERMAC 2024
  topic: section
subject: Quadril´atero reentrante
  topic: keywords
subject: Inc´ırculo
  topic: keywords
subject: Triˆangulo
  topic: keywords
creator: Alessandro Firmiano de Jesus
creator: Matheus Santos Silva
creator: João Paulo Martins dos Santos
rights: Direitos autorais (c) 2025 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-02-05
publication date: 2025-02-05
starting page: e25001
ending page: e25001
doi: 10.21167/cqdv25e25001

Transformando frequências em melodias: análise de ondas sonoras e da curva de Railsback
type: item
description: Este artigo explora os princ´ıpios da ac´ustica e da linguagem musical, com ˆenfase na transformac¸˜ao de frequˆencias em melodias no contexto do piano. O estudo destaca a an´alise da curva de ajuste Railsback, uma metodologia utilizada por t´ecnicos para otimizar a qualidade sonora ao ajustar desvios de afinac¸˜ao caracter ´ısticos em pianos. Investigamos tamb´em os principais tipos de ondas aplicadas na s´ıntese sonora, incluindo senoidais, quadradas e triangulares, avaliando suas propriedades de frequˆencia e amplitude e o impacto que exercem sobre a percepc¸ ˜ao auditiva. No ambiente MATLAB, implementamos esses tipos de ondas e apresentamos uma an´alise detalhada de como os parˆametros influenciam o timbre e a qualidade do som. Por fim, implementamos um algoritmo que ilustra o uso da curva de Railsback para ajuste fino das frequˆencias das teclas, proporcionando uma afinac¸˜ao que se alinha com a percepc¸ ˜ao auditiva ideal e a harmonia ac´ustica.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Railsback
  topic: keywords
subject: Ondas senoidais
  topic: keywords
subject: Ondas quadradas
  topic: keywords
subject: Ondas triangulares
  topic: keywords
subject: Linguagem musical
  topic: keywords
creator: Cristiane Aparecida Pendeza Martinez
creator: Gustavo de Freitas Magalhães
creator: André Luís Machado Martinez
rights: Direitos autorais (c) 2024 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2024-12-19
publication date: 2024-12-19
starting page: e24014
ending page: e24014
doi: 10.21167/cqdv24e24014

Conjugação anal´ítica entre sistemas diferenciais planares e sistemas potenciais
type: item
description: O clássico Teorema da Forma Normal de Poincaré afirma que um ponto crítico de um campo vetorial planar analítico é um centro não degenerado se e somente se houver uma mudança de coordenada analítica tal que nas novas coordenadas o campo vetorial inicial seja da forma f(x^2+y^2)(y \partial/\partial x - x \partial / \partial y), onde f é uma função analítica definida em uma vizinhança da origem tal que f(0)>0. Neste artigo é provado que um campo vetorial planar analítico com um centro não degenerado em (0,0) é analiticamente conjugado, em uma vizinhança de (0,0), a um campo vetorial hamiltoniano da forma y \partial / \partial x -V'(x) \partial / \partial y, onde V é uma função analítica definida em uma vizinhança da origem tal que V(0)=V'(0)=0 e V''(0)>0. Este resultado é uma resposta parcial a um problema proposto por Chicone em 1987.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Campos vetoriais planares anal´ıticos
  topic: keywords
subject: Centro não degenerado
  topic: keywords
subject: Conjugação analítica
  topic: keywords
subject: Sistemas potenciais
  topic: keywords
creator: Francisco José dos Santos Nascimento
rights: Direitos autorais (c) 2024 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2025-07-09
publication date: 2025-07-09
starting page: e24015
ending page: e24015
doi: 10.21167/cqdv24e24015

Viga prismática delgada e elástica: três aplicações de importância prática na engenharia
type: item
description: As vigas prismáticas submetidas à esforços, podem sofrer deformações elásticas. Nesse estudo, três aplicações envolvendo uma viga de aço prismática quase retilínea são analisadas. A primeira, consiste em uma carga concentrada P em seu ponto médio, onde a modelagem é tratada de duas formas distintas. Uma forma utiliza a equação do momento fletor com condições de contorno aplicadas em uma de suas extremidades e no ponto central da viga. Essa abordagem ficou em boa concordância com o modelo desenvolvido nesse estudo, onde as condições de contorno são aplicadas nos extremos da viga. Na segunda aplicação, uma mola é posta sob a barra no ponto médio, de modo a atenuar o movimento vertical causado pela força P. A elástica dessas deformações foi aqui determinada. A terceira aplicação consiste na disposição de três cargas equidistantes sobre a barra de modo a obter uma representação cinemática não forçada desse movimento.
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Curva elástica
  topic: keywords
subject: Deflexões na viga delgada
  topic: keywords
subject: Momento fletor
  topic: keywords
subject: Movimento livre de deflexões na barra
  topic: keywords
creator: Jorge Corrêa de Araújo
creator: Rosa Garcia Marquez
rights: Direitos autorais (c) 2024 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2024-12-21
publication date: 2024-12-21
starting page: e24017
ending page: e24017
doi: 10.21167/cqdv24e24017

Sobre o lançamento de projéteis
type: item
description: Embora o estudo da trajet´oria de proj´eteis, em lançamentos obl´ıquos e sob condiç˜oes ideais, seja um t´opico recorrente durante o per´ıodo que compreende o final do ensino m´edio at´e as disciplinas universit´arias b´asicas de C´alculo e F´ısica, seu tratamento nesse contexto, invariavelmente o apresenta como uma mera aplicac¸˜ao das noç˜oes dos movimentos: uniforme e uniformemente variado em duas dimens˜oes. Assim sendo, propriedades importantes e aplicaç˜oes relevantes s˜ao, em geral, negligenciadas. Neste artigo desenvolvemos a teoria do lanc¸amento obl´ıquo de proj´eteis sob condiç˜oes ideais e destacamos suas principais propriedades. Apresentamos uma s´erie de aplicaç˜oes interessantes e n˜ao triviais, que podem, inclusive, serem estendidas para al´em do escopo deste texto, vide, por exemplo, [1].
subject: Artigos de Pesquisa
  topic: section
subject: Lançamento oblíquo
  topic: keywords
subject: Galileu Galilei
  topic: keywords
subject: Lei de Newton
  topic: keywords
subject: Trajetória de projéteis
  topic: keywords
creator: Ricardo Parreira da Silva
rights: Direitos autorais (c) 2024 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2024-12-17
publication date: 2024-12-17
starting page: e24013
ending page: e24013
doi: 10.21167/cqdv24e24013

Teoremas de Menelaus, Pascal e Ceva: cinco problemas resolvidos propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática
type: item
description: Os Teoremas de Menelaus, Pascal e Ceva estabelecem condições necessárias e suficientes para a concorrência e colinearidade de determinadas retas e pontos. Cinco problemas propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática são discutidos em detalhe. As demonstrações envolvidas nas soluções são complementadas pela disponibilização dos respectivos links das figuras interativas utilizando o GeoGebra. É esperado que o artigo possa ser apreciado tanto por estudantes, que preparam-se para as fases finais de competições nacionais ou internacionais, quanto por professores, que atuam no ensino e interessam-se em desafios olímpicos. Outros assuntos lembrados são: quadriláteros inscritíveis, semelhança, potência de ponto, base média, incentro e homotetia.
subject: Artigos de Iniciação Científica
  topic: section
subject: Menelaus
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subject: Ceva
  topic: keywords
subject: GeoGebra
  topic: keywords
subject: Olimpíada Internacional de Matemática
  topic: keywords
subject: Pascal
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creator: Juan López Linares
rights: Direitos autorais (c) 2024 C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática https://creativecommons.org/licenses/by/4.0
date: 2024-12-17
publication date: 2024-12-17
starting page: e24006
ending page: e24006
doi: 10.21167/cqdv24e24006