A representação-FM para a função quadrática - Parte 1

Resumo

Fixados 𝑏₀ ∈ R e 𝑐₀ ∈ R, sejam as famílias de funções 𝐹_a : R → R dada por 𝐹_a (𝑥) = 𝑎𝑥² +  𝑏₀x+ c₀ , 𝑎 ∈ R^*, e 𝑓_a : C → C dada por 𝑓_a (𝑧) = 𝑎𝑧² + 𝑏₀z+ c₀ , 𝑎 ∈ R^*. Quando variamos 𝑎, obtemos a representação-F_aM, que consiste do plano cartesiano no qual o gráfico de 𝐹_a evolui e, logo abaixo, do plano complexo no qual são traçados os caminhos das 2 raízes de 𝑓_a . A importância da representação-F_aM reside na análise simultânea do que sucede com 𝐹_a com o que acontece com as 2 raízes de 𝑓_a. Mostramos que as sequências de funções 𝐹_n ^{+ -1} : [0,+∞[→ [0,+∞[ dada por 𝐹_n ^{+ -1}(𝑊) = (𝑊/𝑛)^1/2 e 𝐹_n ^{- -1} : [0,+∞[→] − ∞, 0] dada por 𝐹_n ^{- -1}(𝑊) = - (𝑊/𝑛)^1/2, 𝑛 ∈ N = {1, 2, 3, ...}, convergem simplesmente, mas não uniformemente, para 0; enquanto 𝐹_n ^{+ -1}|_[0,M]  e 𝐹_n ^{- -1}|_[0,M]  convergem uniformemente para 0, para 𝑀 > 0 fixo. Para cada 𝑎 ∈ R^*, determinamos a curvatura de 𝜆_a : R → R² dada por 𝜆_a(𝑥) = (𝑥, a𝑥²) em um 𝑥₀ fixo, e damos exemplos.